Una Aproximación al Pronostico del tipo de cambio dóolar/euro con Series de Tiempo

Una Aproximación al Pronóstico del tipo de cambio dólar/euro aplicando Series de Tiempo-Modelos Autorregresivos de Media Movil-Modelos ARIMA.


1. Introducción.

Un aspecto clave en los entornos de los mercados de capitales, así como en la mayoría de las ciencias, específicamente en las ciencias económicas es la realización de pronósticos con cierto grado de precisión para la toma de decisiones.

El ser humano siempre ha estado interesado en predecir el futuro, para ello, ejerce su mejor posición e interactúa con su entorno tratando de realizar e interactuar su mejor juego

La información existente, a partir de las cuales se pueden realizar pronósticos o proyecciones, esta dada en forma cualitativa y cuantitativa. A esta ultima categoría pertenecen las series de tiempo, las cuales se pueden definir como un conjunto de observaciones ocurridas y registradas secuencialmente en el tiempo, que mediante modelos estadísticos apropiados, se puede prever con cierto grado de incertidumbre valores futuros.

El advenimiento y desarrollo de sistemas informáticos en las instituciones estatales y privadas han permitido el procesamiento y almacenamiento de grandes volúmenes de información, los cuales pueden utilizarse para la investigación econometrita.

El presente trabajo, consiste en una aproximación al pronóstico del tipo de cambio del dólar/euro utilizando modelos autorregresivos de media móvil, los denominados modelos ARIMA. Para ello, se visito el sitio Web del Banco Central Europeo y se recupero información del tipo de cambio referido, en el periodo 1999-2007[1] en forma mensual.

Se pretende hacer un ensayo, una aplicación de los modelo ARIMA a la serie del tipo de cambio y analizar las diferentes propiedades de este tipo de modelos.


2. Marco teórico.

Una serie es un conjunto de observaciones tomadas en periodos específicos, usualmente en intervalos de tiempos iguales.
Las variaciones que se presentan en el comportamiento de las series de tiempo pueden ser de 4 tipos:
Tendencia. Es el movimiento que presenta la serie durante un largo periodo de tiempo y que describe mediante la curva de tendencia
Estacionalidad. Son movimientos idénticos que parece seguir una serie durante meses consecutivos de años sucesivos
Cíclico. Son oscilaciones de la serie alrededor de una curva de tendencia y que pueden o no presentar modelos exactamente iguales en diferentes periodos
Aleatoriedad. Se refiere a las variaciones esporádicas de las series de tiempo debido a ciertos acontecimientos fortuitos o al azar.


Formalmente, una serie de tiempo puede tener la forma siguiente:


Donde la variable Y en el tiempo t se expresa como una función de términos autorregresivos (valores pasados de la variable) y en términos de promedios móviles (errores contemporáneos y pasados)

La mayoría de variables económicas pueden ser asociadas a series de tiempo, como por ejemplo, el PIB, las tasas de cambio, la inflación, los precios de las acciones, entre otras.

Existen dos métodos de predicción muy comunes en el ámbito académico: 1) el modelo autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA), comúnmente conocido como la metodología Box-Jenkins[2] (BJ) y 2) el de autrregresion vectorial (VAR). En el presente documento se intenta aplicar el modelo ARIMA a la serie de tiempo del tipo de cambio dólar/euro.

La predicción de tasas de cambio se caracteriza por un fenómeno conocido como acumulación de volatilidad, lo que significa que existen periodos en los que muestran amplias variaciones durante prolongados periodos que son seguidos por un intervalo de tiempo de una tranquilidad relativa.

Un método de predicción presupone que las series de tiempo subyacentes son estacionarias[3] o que pueden convertirse en estacionarias mediante transformaciones adecuadas.

Hay cinco enfoques para la predicción económica basada en series de tiempo: 1) métodos de alisamiento exponencial, 2) modelos de regresión uniecuacionales, 3) modelos de regresión de ecuaciones simultaneas, 4) los modelos de vectores autorregresivos (VAR) y 5) modelos autorregresivos de media móvil (ARIMA)

Los primeros cuatro modelos han sido utilizados ampliamente hasta antes de la década del 80, mientras que a partir de la década del 90, se ha realizado mucha investigación en el tema de los modelo ARIMA, siendo estos los mas utilizados.

Los modelos autorregresivos de media móvil-ARIMA establecieron una nueva generación de herramientas de predicción, y se popularizo como metodología Box-Jenkins, el cual hace énfasis en el análisis de propiedades probabilísticas o estocásticas, de las series de tiempo económicas[4]. Por simplicidad en el presente estudio, se aplicará modelos ARIMA univariantes (modelos que pertenecen a una sola serie de tiempo)

El modelo ARIMA se basa en el supuesto de que las series de tiempo consideradas son estacionarias. Sin embargo se sabe que muchas series económicas son no estacionarias, a este tipo de series se le denomina serie integradas[5]. Para la mayoría de series económicas, la experiencia muestra que la estacionalidad se logra después de una diferencia o de una diferencia de logaritmos.
Si se debe diferenciar una serie de tiempo d veces para hacerla estacionaria y luego aplicar a ésta un modelo ARMA(p,q)[6], se dice que la serie de tiempo original es ARIMA(p,d,q), donde p es el numero de términos autorregresivos, d es el numero de veces que la serie debe se diferenciada para hacerse estacionaria y q es el numero de términos de media móvil. La metodología BJ exige una serie de tiempo estacionaria o una serie de tiempo que sea estacionaria después de una o mas diferencias

La metodología BJ considera 4 pasos:
Identificación. Encontrar los valores apropiados de p, d y q
Estimación. Se estiman los parámetros de los términos autorregresivos y de media móvil incluido en el modelo
Verificación de diagnóstico. Se verifica si el modelo se ajusta a los datos. Una simple prueba es ver si los residuales estimados son de ruido blanco, de lo contrario debe buscarse otro modelo (la metodología BJ es un proceso iterativo)
Predicción. Se procede a predecir con el modelo.

El objetivo es identificar el proceso estocástico que ha generado la serie de datos Yt, estimar los parámetros que caracterizan a dicho proceso y verificar que se cumplan las hipótesis que han permitido la estimación de dichos parámetros. Si dichos supuestos no se cumplen, la fase de verificación sirve como retroalimentación para una nueva fase de identificación. Cuando ya se satisfagan las condiciones de partida, se puede utilizar el modelo para pronosticar.


3. El Problema y Objeto de Estudio.

Los cambios en los mercados mundiales están marcados por diferentes variables endógenas y exógenas que generan volatilidad en los tipos de cambio. Esto a su vez implica pérdidas o ganancias para importadores y exportadores. En el caso que nos ocupa, la Unión europea incorporó el proceso de integración monetaria a partir del año 1999, lo cual desde sus inicios se ha caracterizado en la común volatilidad respecto a otras monedas, específicamente respecto al dólar ha jugado un papel decisivo en las políticas macroeconómicas de Estados Unidos, a tal grado que en los últimos años ha ganado terreno y se ha logrado apreciar respecto a la moneda de la primera economia desarrollada.

El presente trabajo intenta explorar las características del tipo de cambio dólar/euro y aplicar un modelo econométrico autorregresivo de promedios móviles, modelo ARIMA, de manera que se pueda pronosticar el tipo de cambio futuro


4. La Hipótesis

El tema de tipos de cambio es complicado precisamente por las variables del entorno económico que influencian las decisiones y/o acciones de los diferentes agentes del mercado.
Al respecto podemos preguntarnos ¿realmente podemos pronosticar los tipos de cambio futuros, dadas las innumerables variables que afectan el mercado de divisas?

Los expertos han desarrollado en los últimos años modelos econométricos sofisticados que exploran exhaustivamente las diferentes propiedades y características de las variables económicas que utilizan los actores de los mercados. Es por ello, que en el presente documento se da una primera aproximación al relevante tema de los modelos ARIMA aplicados a una serie cronológica de tipo de cambio del dólar respeto a euro

5. Desarrollo del problema Vrs Hipótesis.
En el marco teórico hemos definido la metodología Box-Jenkins (BJ), equivalente a los modelos autorregresivos de promedio móviles ARIMA, el cual consiste en ejecutar 4 pasos: 1) Identificación del modelo, 2) estimación de parámetros, 3) verificación del diagnostico y 4) el pronostico

A continuación intentaremos aplicar la metodología BJ a la serie Yt referida a los tipos de cambio del dólar frente al Euro.

Paso 1. Identificación.

Como primer paso se requiere que la serie de interés sea estacionaria. Una de las herramientas para probar la estacionalidad[7] es la función de autocorrelación (ACF)[8] y la función de autocorrelación parcial (PACP); donde la primera genera una grafica denominada correlograma poblacional, sin embargo, en la vida real, lo que se conoce es una muestra, es decir solamente se puede calcular la función de autocorrelación muestral al rezago k y la grafica se denomina correlograma muestral[9]. La segunda función, PACF, es análoga al concepto de coeficiente de regresión parcial en la regresión múltiple con k variables[10]. De manera similar, la autocorrelación parcial ρkk mide la correlación entre observaciones (en una serie de tiempo) que está separadas k periodos de tiempo, manteniendo constantes las correlaciones en los rezagos intermedios

La figura 1 a) muestra la serie del tipo de cambio dólar/euro, la cual tiene una tendencia creciente a partir del año que inicio la circulación del euro, en algunas partes de la grafica se observan picos lo cual sugieren un componente periódico; sin embargo es no estacionaria, para ello, se aplica una primera diferencia para transformarla en una serie estacionaria (ver figura 1 b)).


Figura 1: a) Tasa de cambio dólar/euro (Fuente banco Central Europeo)[11], periodo 1999-2007; b) tasa de cambio en primera diferencia

Para determinar los parámetros p y q se utilizan los gráficos de la función de autocorrelación simple ACF y la función de autocorrelación parcial PACF (correlogramas). En la figura 2 se presenta el correlograma y correlograma parcial de la serie de la tasa de cambio dólar/euro. Se puede observar que la ACF decrece muy lentamente y todos los rezagos están por fuera de los limites del 95% de confianza. En el caso de las PACF decrece en forma considerable y todas, después del primer rezago son estadísticamente no significativas.

a)
b)

Figura 2: a) Correlograma y b) Correlograma Parcial de la tasa de cambio dolar/Euro, periodo 1999-2007
La figura 3 presenta el correlograma de la serie de tipo de cambio, pero en primeras diferencias, donde se puede observar un patrón muy diferente. Las PACF en los rezagos 1, 10 y 13 son estadísticamente diferentes de cero, sin embargo en los demás rezagos, no son estadísticamente diferentes de cero.
a)
b)
Figura 3: a) Correlograma y b)correlograma parcial, Tasa de cambio dólar/Euro, periodo 1999-2007 (ambos en primeras diferencias)

Lo medular a esta altura, es encontrar los parámetros p, q del modelo ARMA. Recordemos que si una serie de tiempo Yt es estacionaria, se puede modelar o generar de diferentes formas: a través de procesos autorregresivos AR de primer orden AR(1) o de segundo orden AR(2) o de orden p AR(p); a través de procesos de media móvil MA de primer orden MA(1), de segundo orden MA(2) o de orden q MA(q); sin embargo, también es probable que la serie Yt tenga características AR y MA simultáneamente y por consiguiente sea ARMA [ARMA(1,1),…., ARMA(p,q)]

En nuestro caso, es necesario determinar el algoritmo o combinación de los parámetros del modelo ARIMA; para ello, no existe un modelo que pueda determinar el algoritmo correcto, una alternativa es utilizar un procedimiento que permite construir el mejor modelo posible para nuestra serie de tipo de cambio. En nuestro caso, ya conocemos el termino d, referido a la primera diferencia obtenida para convertir la serie en estacionaria [d=1, equivalente a ARIMA(0,1,0)]
Una vez observados las formas de los correlogramas simple y parcial de la figura 3[12] podemos afirmar que los valores de los parámetros p y q corresponden a 1; es decir se tiene un modelo ARIMA(1,1,1)

Paso 2. Estimación.

El procedimiento de la tendencia ARIMA estima los coeficientes del modelo que tentativamente se ha identificado, ahora debemos suministrar los parámetros p, d y q y ejecutar cálculos iterativos necesarios para determinar coeficientes de máxima probabilidad para el modelo ARIMA, el error (el residuo[13]), y los límites de confianza para el ajuste.
El análisis de los residuos es importante, para ello examinamos los residuales, a través de la prueba estadística de Box-Ljung[14],

Para crear el modelo, hacemos uso de los procedimientos estadísticos del programa SPSS. Esta parte es crucial en la construcción del modelo ya que requiere verificar que los residuos sean aleatorios, y en nuestro caso ésta evidencia no existe, según el estadistico Box-Ljung, lo cual se presume por factor “volatilidad” de la tasa de cambio.
A continuación se presenta un analisis de los residuos del modelo junto al estadistico Box-Ljung (Ver figura 4)

Figura 4: a) correlograma, b) correlograma parcial, análisis de residuos del modelo en ambos casos

De la figura 4, lo que tenemos es que el error u en el tiempo t esta correlacionado con el termino de error en el tiempo anterior[15] (t-1), esta autocorrelación[16] es llamada heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH)[17], debido al fenómeno de acumulación de la volatilidad de los tipos de cambio, lo cual implica que existen segmentos en los que los precios muestran grandes variaciones durante prolongados periodos y luego se dan intervalos de tiempo en los que se tiene una calma relativa. Como sabemos, este tipo de series de tiempo reflejan el resultado del comercio entre compradores y vendedores a precios de mercado, lo cual se afecta sobre el patrón de las series de tiempo de este tipo, precisamente por las expectativas y otras variables u acontecimientos exógenos de los mercados de capital.

En el mercado de divisas, esta variabilidad implica pérdidas o ganancias para importadores, exportadores y comerciantes. Entonces, ante los resultados obtenidos al momento, se opta por un diseño especial de modelo que tome en cuenta el alto componente aleatorio de los tipos de cambio del dólar/euro, que como hemos visto, por lo general, en la forma de primera diferencia resulta ser estacionarias.


Figura 5: a) serie de tiempo tipo de cambio dólar/euro, periodo 1999-2007; b)transformación de la serie de tiempo utilizando logaritmo natural, primera diferencia

Las figura 5 a) presenta considerables altibajos en la tasa de cambio a lo largo del periodo muestral 1999-2007 (fue presentada en la figura 1 a)). La figura 5 b) presenta las variaciones en los logaritmos de la tasa de cambio[18] lo cual muestra una amplia variación durante el periodo, lo cual ejemplifica el fenómeno de la acumulación de volatilidad. Ahora podemos preguntarnos ¿podemos medir la volatilidad del tipo de cambio dólar/euro?

La volatilidad se puede medir estadísticamente a través de transformaciones de la serie de tiempo. Consideremos las siguientes ecuaciones.

Ecuaciones [1]

Xt es el cambio relativo ajustado por la media en la tasa de cambio, a partir del cual podemos utilizar como una medida de la volatilidad. Al ser una cantidad al cuadrado, su valor será alto en periodos en los que se experimenten grandes cambios en los precios de los bienes financieros, y su valor será comparativamente pequeño cuando se den variaciones modestas en los precios de dichos bienes[19].

Si aceptamos a como una medida de la volatilidad, supongamos ahora que se considera el modelo AR(1)=ARIMA(1,0,0) siguiente:
Ecuación [2]


Dado que tenemos presencia de autocorrelación, resulta significativo aplicar el modelo ARCH(1) con los datos de nuestra serie de tiempo del tipo de cambio del dólar frente al euro. El modelo significa que la volatilidad en el periodo actual esta relacionada con su valor del periodo anterior mas un termino de error con ruido blanco, donde, si resultare positiva, sugerirá que si la volatilidad era alta en el periodo anterior, seguirá siendo alta en el periodo actual[20], en cambio de es cero, entonces no se presenta una acumulación de volatilidad[21]

Para calcular los coeficientes del modelo de la Ecuación [2] utilizaremos el método de Mínimos Cuadrado Generalizados [22] (MCG), precisamente este método lo utilizamos para corregir la autocorrelación de los residuos, a través del popular método iterativo denominado Chochrane-Orcutt[23]

La tabla 1 muestra los coeficientes del modelo de regresión lineal transformado con sus niveles de significancia y puede observarse que el predictor Xt-1 (Ecuación [2]) es estadísticamente significativo

Tabla 1: Resultados del modelo de regresión transformado ARCH(1) .


El estadístico Durban-Watson (D-W)[24]es una medida de la autocorrelación de primer orden de los residuos estimados. El valor generado del estadístico D-W es 0.142 y denota autocorrelación positiva de primer orden

Así, el resultado del modelo es el siguiente:


Puesto que el coeficiente del término rezagado es estadísticamente significativo (el valor p[25] es menor a 0.05), se tiene evidencia de la presencia de la acumulación de la volatilidad en la serie de tiempo del tipo de cambio del dólar frente al euro.
CONCLUSIONES

· El periodo en estudio del tipo de cambio del dólar/euro analizado en el presente estudio, ha reflejado una alta acumulación de volatilidad ascendente en los últimos años, lo cual ha estado caracterizada por las variables del entorno económico mundial, por las tensiones políticas, por las expectativas de la oferta/demanda de activos o recursos necesarios para la productividad económica y por las alzas del precio de petróleo.

· La aplicación de técnicas estadísticas y modelos econométricos, específicamente el modelo ARIMA, pueden explicar la volatilidad de los tipos de cambio y predecir los valores de los parámetros de dichos modelos.

· En el presente estudio, no se alcanzo a obtener una predicción específica para un año en particular, precisamente por la presencia de un modelo ARIMA que no fue significativo en sus parámetros y por la presencia de acumulación de volatilidad en la serie de tiempo utilizada. Sin embargo, queda abierta la posibilidad de incluir otros predictores al modelo ARIMA, lo que podría generar un modelo con parámetros significativos.

· Los resultados del modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresivo (ARCH de primer orden, ARCH(1)) confirman el hecho de la acumulación de volatilidad del tipo de cambio del dólar frente al euro, lo cual es evidente con las distintas variables exógenas que se dan en el mercado de capitales, como por ejemplo, los altos precios del petróleo y los cambio de política en algunos gobierno. La incertidumbre de los agentes del mercado es clave

· En lugar del modelo ARCH(1) se puede tener el modelo de ordenes superiores ARCH(p) de volatilidad de p variables el cual afirma que la volatilidad en el periodo actual esta relacionada con los p periodos anteriores, donde se aplicaría el diseño de un modelo econométrico utilizando criterios de selección de modelos. Esta tarea puede desarrollarse en un segundo momento.

· Hablar de las tasas de cambio en un escenario de globalización donde se encuentran la gran mayoría de economías a nivel regional y mundial, es hablar de la presencia de volatilidad, lo cual significa que con una gran probabilidad, nos encontraremos con la situación que las varianzas de los residuos de los modelos ARIMA (que estimemos) estarán correlacionadas, lo que significa que tendremos el efecto ARCH de 1 o mayor orden.

















Anexos
Datos recuperados desde sitio Web Banco Central Euoropeo (www.ecb.int/ecb/html/index.es.html)


Base de Datos trabajada en el software estadístico SPSS, Versión 13.0





Bibliografía

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ANA CECILIA KIKUT, EVELYN MUÑOZ, JUAN QUIROS, 2002, Aspectos Conceptuales sobre Series de Tiempo, Banco Central de Costa Rica


[1] El ECU (European Currency Unit) fue la primera moneda introducida en el proceso de integración económica europea y constituyó el elemento central del Sistema Monetario Europeo, desde su entrada en vigor en 1979. el ECU desapareció en diciembre de 1998 y fue sustituido por el Euro (fase 3, a partir de enero de 1999, cuando se creó el Banco Central Europeo, fecha en la cual se fijaron los tipos de cambio y se introdujo la moneda única en sus primeros 25 estados miembros). Los billetes Euro comenzaron a circular el primero de enero del año 2002. Actualmente la Unión europea lo conforman 27 estados y su constitución esta abierta a la ampliación con criterios o requerimientos definidos.
[2] G.P.E. Box y G.M. Jenkins, Time Series Analisys: Forescasting and control, San Francisco 1978
[3] Una serie es estacionaria cuando la media, la varianza son y su covarianza son invariantes en el tiempo
[4] A diferencia de los modelos de regresión, en los cuales Yt esta explicada por k regresoras, en los modelos de series de tiempo tipo BJ, Yt puede ser explicada por valores pasados o rezagados de si misma y por las perturbaciones del error
[5] El orden de integración (o grado de diferenciación) denotado por I(d) se refiere al numero de veces que una serie debe ser diferenciada para obtener una serie estacionaria. Si una serie es integrada de orden 1, I(1), sus primeras diferencias son I(0), es decir es estacionaria, lo cual se generaliza si se tiene una serie de tiempo I(d) después de diferenciarla d veces se obtiene una serie I(0). Muchas series económicas son integradas, por ejemplo el PIB, la tasa de cambio,.
[6] Un modelo ARMA(p,q) es una combinación de los modelos AR y MA. Una serie económica Yt puede modelarse de la siguiente forma , donde es la media de Y y es un termino de error aleatorio de ruido blanco ( es no correlacionado con media cero y varianza constante ), entonces se dice que la serie Yt sigue un proceso estocástico autorregresivo de primer orden AR(1). La serie Yt depende de su valor en el periodo anterior y de un término aleatorio. Se puede demostrar que la serie Yt sigue un proceso autorregresivo de orden p, AR(p) de la siguiente forma:
Supongamos un modelo para la serie Yt , , donde es una constante y es el termino de error estocástico con ruido blanco, se dice que Yt sigue un proceso de media móvil de primer orden MA(1), lo cual puede generalizarse a un proceso MA(q) (un proceso de media móvil es sencillamente una combinación lineal de términos de error con ruido blanco)

Así mismo, es muy probable que la serie Y tenga características de AR y MA simultáneamente. Un proceso es ARMA(1,1) sí se puede escribir de la forma . En general, en un proceso ARMA(p,q) habrá p términos autorregresivos y q términos de media móvil

[7] En el presente documento, la palabra estacionaria es considerada sinónimo de estacionalidad
[8] La ACF al rezago k, se define como
[9] El valor estimado viene dado por
[10] En la regresión múltiple de k variables, el k-ésimo coeficiente de regresión, mide la tasa de cambio en el valor medio de la variable regresada ante un cambio unitario en la k-ésima regresora Xk, manteniendo constante la influencia de todas las demás regresoras.
[11]Ver www.ecb.int/ecb/html/index.es.html
[12]En los modelos ARIMA, ya existen patrones definidos para evaluar el comportamiento de las funciones ACF y PACF. Los modelos AR(p) tienen valores exponenciales declinantes en la función ACF (posiblemente con valores alternantes positivos y negativos) y tienen p puntas en los primeros valores p de la función ACFP . Los modelos MA(q) tienen q puntas en los valores iniciales de la función ACF y valores exponenciales declinantes en la función ACFP
[13] Un residuo (o error) es la diferencia entre el valor observado y el valor ajustado en el modelo
[14] También llamado Estadístico Q
[15] La varianza del error esta relacionada con el termino de error al cuadrado en termino anterior
[16] La autocorrelación se puede definir como la correlación entre miembros de series de observaciones ordenadas en el tiempo, es decir
[17] Recibe este nombre si la varianza del error esta relacionada con otro termino de error al cuadrado en el termino anterior
[18] Recordemos que las variaciones en los logaritmos de una variable denotan cambios relativos, los cuales si se multiplican por 100, proporcionan los cambios porcentuales
[19] Las transformaciones de las Ecuaciones [1] se han efectuado utilizando el software estadístico SPSS, versión 13.0
[20] Lo cual significa que estamos frente a un fenómeno de acumulación de volatilidad
[21] La significancia estadística de se puede juzgar mediante la prueba t student
[22] El método de Mínimos Cuadrado Generalizado, es un procedimiento que consiste en transformar las variables originales de tal forma que las variables transformadas satisfagan los supuestos del modelo clásico de regresión y luego se plica Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Los estimadores así obtenidos son MELI (mejores estimadores linealmente independientes)
[23] El estadístico de chochrane-Orcutt tiene como objetivo proporcionar un estimador de (coeficiente de autocorrelación de primer orden) que pueda utilizarse para obtener los estimadores MCG de los parámetros. Se ha supuesto que los residuos del modelo siguen un esquema AR(1), es decir
[24] Los valores del estadístico Durbin-Watson estan en el rango de 0 a 4. los valores menores que 2 indican residuales correlacionados positivos, mientras que, valores mayores que 2 indican residuales correlacionados negativos
[25] P-Value. Criterio del nivel de significancia que utilizan la mayoría de programas estadísticos